Các trường không nguyên tố

Với một lũy thừa nguyên tố q = pn với p số nguyên tố và n > 1, trường GF(q) có thể được xây dựng tường minh như sau. Đầu tiên ta chọn một đa thức bất khả quy P trong GF(p)[X] sao cho bậc của P {\displaystyle P} bằng n (định lý - luôn tồn tại một đa thức như vậy). Thế thì vành thương

G F ( q ) = G F ( p ) [ X ] / ( P ) . {\displaystyle {\rm {GF}}(q)={\rm {GF}}(p)[X]/(P).}

của vành đa thức GF(p)[X] bởi i-đê-an chính sinh bởi P là một trường cấp q.

Trường bốn phần tử

Trên GF(2), chỉ có một đa thức bất khả quy bậc 2 duy nhất:

X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1}

Do đó, ta có một đẳng cấu G F ( 4 ) ≃ G F ( 2 ) [ X ] / ( X 2 + X + 1 ) {\displaystyle GF(4)\simeq GF(2)[X]/(X^{2}+X+1)} .

Nếu ký hiệu α là một nghiệm của đa thức P {\displaystyle P} trong GF(4), ta có bảng các phép toán trong GF(4) như sau.

Phép cộng	Phép nhân	Phép chia
+ 0 1 α 1 + α 0 0 1 α 1 + α 1 1 0 1 + α α α α 1 + α 0 1 1 + α 1 + α α 1 0	× 0 1 α 1 + α 0 0 0 0 0 1 0 1 α 1 + α α 0 α 1 + α 1 1 + α 0 1 + α 1 α	x/y 0 1 α 1 + α 0 — 0 0 0 1 — 1 1 + α α α — α 1 1 + α 1 + α — 1 + α α 1